Su–etanol karışımları: derece, yoğunluk ve doğru seyreltme

Giriş

Etanol, eczanede ve farmasötik teknoloji laboratuvarında en sık seyreltilen çözücüdür. Tentür ve ekstrelerin hazırlanmasında ekstraksiyon çözücüsü olarak belirli bir derecede alkol istenir; cilt ve yüzey antisepsisinde %70'lik alkol kullanılır; majistral reçetelerde, çözeltilerde ve granülasyon sıvılarında farklı derecelerde hidroalkolik karışımlar gerekir. Stokta ise çoğunlukla %96'lık ya da mutlak alkol bulunur. Her seferinde yapılan iş aynıdır: derecesi bilinen stoktan, istenen derecede ve miktarda karışım hazırlamak.

Sulu çözeltilerde alışılan "C₁V₁ = C₂V₂" hesabı bu işte yanıltır. Stok hacmi doğru bulunsa bile, eksik kalan hacim kadar su eklendiğinde karışım büzülür: hedeflenen hacme ulaşılmaz ve derece hedefin biraz üstünde kalır. Doğru hesap, hacmi değil kütleyi korunan büyüklük olarak alır ve yoğunlukları, sıcaklığı da hesaba katan uluslararası bir denklemden okur. Bu rehber önce kavramları, sonra OIML denklemini ve tablolarını, ardından aracın kullandığı sayısal yöntemleri ve seyreltme hesabını anlatır.

Tanımlar

OIML R 22, su–etanol karışımının "alkol derecesini" iki biçimde tanımlar (OIML, 1975):

• Hacimce alkol derecesi (% v/v, % vol, q): karışımda bulunan alkolün 20 °C'deki hacminin, karışımın 20 °C'deki toplam hacmine oranı.
• Kütlece alkol oranı (% m/m, % w/w, p): karışımdaki alkol kütlesinin karışımın toplam kütlesine oranı.

Hacimce derecenin tanımı sıcaklığa bağlıdır; bu yüzden referans sıcaklık açıkça 20 °C olarak konmuştur. Kütlece oran ise sıcaklıktan bağımsızdır; bir karışımı ısıtmak ya da soğutmak kütleleri değiştirmez. İki ifade 20 °C yoğunlukları üzerinden birbirine dönüşür:

φ = w · ρ(w, 20 °C) / ρ_E(20 °C)

Burada w kütle kesri, φ hacimce derece (kesir olarak), ρ(w, 20 °C) karışımın, ρ_E(20 °C) ise saf etanolün 20 °C'deki yoğunluğudur (789,24 kg/m³). Tanımdaki payda karışımın hacmidir; karıştırmadan önceki su ve alkol hacimlerinin toplamı değildir. Bu ayrım önemsiz bir incelik değildir: 50 mL alkol ile 50 mL su karıştırıldığında karışım %50 v/v değil, biraz daha derişik olur, çünkü payda küçülmüştür. Meija (2009), Mendeleyev'e atfedilen votka sorusu üzerinden hacim konsantrasyonu ile karıştırma öncesi hacim kesrinin neden farklı sayılar verdiğini gösterir.

Hacim büzülmesi

Su ile etanol karıştırıldığında karışma hacmi (fazlalık hacim, V^E) tüm bileşim aralığında negatiftir: karışım, bileşenlerin ayrı ayrı kapladığı hacimlerin toplamından daha küçüktür. Bunun moleküler nedenleri bir sonraki bölümde anlatılmıştır. Fazlalık hacim farklı sıcaklıklarda ve farklı yöntemlerle ayrıntılı olarak ölçülmüştür (Benson & Kiyohara, 1980; Marsh & Richards, 1980; Grolier & Wilhelm, 1981). OIML denkleminden hesaplandığında 20 °C'de molar fazlalık hacim yaklaşık −1,1 cm³/mol ile en küçük değerine etanol mol kesri 0,4 civarında ulaşır.

Eczacılık açısından daha anlaşılır ölçü, karıştırılan hacimlerin yüzde kaçının "kaybolduğudur". Bu göreli büzülme kütlece yaklaşık %46–47 alkolde en büyüktür; bu bileşim kabaca 1 mol etanol ile 3 mol suya karşılık gelir ve Mendeleyev'in hidrat yorumlarının çıkış noktası olmuştur. Bu noktada karıştırılan hacimlerin yaklaşık %3,5'i kaybolur. Pratik bir örnek: 20 °C'de 50 mL mutlak alkol ile 50 mL su karıştırıldığında yaklaşık 96,5 mL karışım elde edilir.

Büzülme, sıcaklıkla da biraz değişir (Marsh & Richards, 1980); bu yüzden doğru bir hesap tek bir "büzülme katsayısı" ile değil, bileşime ve sıcaklığa bağlı bir yoğunluk denklemiyle yapılır.

Hacim neden azalır?

Büzülmenin tek bir nedeni yoktur. Birbirini tamamlayan birkaç moleküler etki birlikte çalışır ve bunların göreli payı bugün de araştırılmaktadır. Deneysel ve kuramsal çalışmaların ortaklaştığı üç etki şunlardır.

1. Suyun boşluklu ağı ve hidrofobik hidrasyon. Sıvı suda her molekül komşularıyla yaklaşık dörtyüzlü (tetrahedral) bir hidrojen bağı ağı kurar. Bu ağ moleküllerin kendi hacmine göre açık ve boşlukludur; buzun sudan hafif olması da bu yüzdendir. Suya az miktarda etanol eklendiğinde apolar etil grubu ağın içine yerleşir ve su molekülleri bu grubun çevresinde yeniden düzenlenir (hidrofobik hidrasyon). Sonuçta seyreltik çözeltide etanolün kapladığı hacim, saf etanoldeki molar hacminden (≈58 cm³/mol) belirgin biçimde küçüktür: etanol mol kesri 0,038'de etanolün kısmi molar fazlalık hacmi yaklaşık −5,2 cm³/mol'dür (Marsh & Richards, 1980). Benzetimler, etanolün kısmi molar hacmindeki bu düşüşü etil gruplarının hidrasyon kabuklarının birbirine değmeye başlamasıyla açıklar (Tan et al., 2015). Kaba bir benzetmeyle, bir kova bilyenin arasına kum döküldüğünde kumun bir kısmı boşluklara dolar ve toplam hacim iki hacmin toplamından küçük kalır.

2. Su–etanol hidrojen bağları. Etanolün hidroksil grubu su ile hidrojen bağı kurar. X-ışını soğurma spektroskopisi, su eklendikçe etanolün OH grubundan kaynaklanan hidrojen bağlarının arttığını göstermiştir (Lam et al., 2016). Polarize edilebilir modellerle yapılan moleküler dinamik benzetimleri de etanolün birinci hidrasyon kabuğunda azalan su–su bağlarının ikinci kabukta fazlasıyla telafi edildiğini ve etanol mol kesri yaklaşık 0,5'e kadar karışımdaki toplam hidrojen bağı sayısının saf sıvılara göre arttığını bulmuştur (Noskov et al., 2005). Daha çok sayıda bağ, molekülleri ortalamada birbirine yaklaştırır. Karışmanın ısı vermesi, yani karışma entalpisinin negatif olması da bu tabloyla uyumludur (Boyne & Williamson, 1967).

3. Moleküler düzeyde tam olmayan karışma ve sıkı paketlenme. Su ile etanol her oranda karışır ama molekül ölçeğinde rastgele dağılmaz. Derişik alkol–su çözeltilerinde nötron kırınımı, suyun hidrojen bağlı küçük zincir ve kümeler halinde, sıkı paketlenmiş alkil gruplarından oluşan bir "akışkan" içinde bulunduğunu göstermiştir (Dixit et al., 2002); etanol–su karışımlarında da benzer bir kısmi ayrışma ve iki bileşenin ayrı ayrı süreklilik gösteren ağlar kurması gözlenmiştir (Lenton et al., 2018). Benzetimler, etil gruplarının hidrofobik etkileşimle birbirine paralel yönelerek daha iyi yerleştiğini ve bunun etanolün negatif kısmi fazlalık hacmine katkı verdiğini öne sürer (Banerjee et al., 2012).

Eski bir açıklama, suyun alkil grubu çevresinde buza benzer düzenli kafesler ("buz dağı" ya da klatrat benzeri yapılar) kurduğunu varsayıyordu (Frank & Evans, 1945). Bu fikir uzun süre ders kitaplarında yer aldı; ancak nötron kırınımı çalışmaları bu yapılar için doğrudan kanıt bulamamış (Dixit et al., 2002), polarize edilebilir modellerle yapılan benzetimler de alkil grubunun hemen çevresinde fazladan hidrojen bağı görmemiştir (Zhong & Patel, 2009). Bugünkü görüşe göre büzülme; hidrojen bağları, hidrofobik hidrasyon ve kısmi kümelenmenin birlikte ortaya çıkardığı bir sonuçtur. Etkilerin payı bileşime göre değişir: su bakımından zengin bölgede hidrofobik hidrasyon, orta ve alkolce zengin bölgede hidrojen bağları ile kümelenme öne çıkar.

OIML R 22 denklemi

Uluslararası Yasal Metroloji Örgütü'nün (OIML) 22 numaralı uluslararası tavsiyesi "Alcoholometry", Ekim 1972'de 4. Uluslararası Yasal Metroloji Konferansı'nda onaylanmış, ilk baskısı 1973'te çıkmıştır. Bu tavsiyeye dayanan "International Alcoholometric Tables" 1975'te Uluslararası Yasal Metroloji Bürosu (BIML) tarafından yayımlandı (OIML, 1975). Tabloların temeli, su–etanol karışımının yoğunluğunu kütle kesri ve sıcaklığın fonksiyonu olarak veren tek bir denklemdir:

ρ(w, t) = A₁ + Σ_k=2¹² A_k w^k−1 + Σ_k=1⁶ B_k (t − 20)^k + Σ_i=1⁵ Σ_k=1^m_i C_i,k w^k (t − 20)ⁱ

ρ kg/m³ cinsinden yoğunluk, w kütle kesri (0–1), t Celsius sıcaklığıdır (IPTS-68 ölçeği). İlk toplam 20 °C'deki yoğunluğu bileşime göre verir; A₁ = 998,20123 kg/m³ suyun 20 °C'deki yoğunluğudur. İkinci toplam saf suyun sıcaklıkla değişimini, üçüncü toplam ise bileşim ile sıcaklığın etkileşimini tanımlar; iç toplamların üst sınırları sırasıyla m = (11, 10, 9, 4, 2)'dir. Denklem −20 °C ile +40 °C arasında geçerlidir. w = 1 için 20 °C'de 789,24 kg/m³ (saf etanol; OIML düzeltme notlarındaki değer), w = 0 için 998,20 kg/m³ (su) verir.

Katsayılar, beş veri kümesine en küçük kareler yöntemiyle uydurulmuştur: Tokyo'daki Ulusal Metroloji Araştırma Laboratuvarı'nda (NRLM) Kawasaki, Minowa ve Inamatsu; Montpellier Eczacılık Fakültesi'nde Jaulmes ve Brun Tep; Washington'daki Ulusal Standartlar Bürosu'nda (NBS) Osborne, McKelvy ve Bearce (Osborne et al., 1913); Georgievskii'nin yeniden değerlendirdiği Mendeleyev ölçümleri ve Almanya'daki PTB'de Wagenbreth. Bileşim polinomunun derecesi 12 seçilmiştir, çünkü daha yüksek derecelerde standart sapma artık iyileşmiyordu (OIML, 1975).

Aynı konu bugün de çalışılmaktadır: Khattab ve arkadaşları (2012) 293–323 K arasında yoğunluk, viskozite ve yüzey gerilimini ölçmüş; Danahy ve arkadaşları (2018) ölçülen yoğunluk ve sıcaklıktan bileşim hesaplamayı ayrıntılı olarak ele almıştır. Yasal metrolojide başvuru noktası ise OIML denklemidir.

OIML tabloları

OIML R 22, denklemden türetilmiş bir dizi tablo içerir. Araçtaki üç sekme bu tabloların karşılığıdır:

OIML, interpolasyonla türetilen tabloların basılı iki ondalığı bozmaması için hesapların 16 anlamlı basamakla yapılmasını ve kütlece %0,1 aralıklı bir ara tablo üzerinden interpolasyon yapılmasını şart koşmuştur. Cam alkolmetre ve hidrometre okumalarını cam genleşmesine göre düzelten Tablo VIII–X bu araçta yoktur.

Araç tablolardan değer okumaz ve interpolasyon da yapmaz: her sonucu doğrudan denklemden hesaplar. Denklemi tersine çevirmek gereken yerlerde (IVb, Va/Vb, VI/VII) aşağıda anlatılan sayısal yöntemler kullanılır.

Ters çözüm: hacimce dereceden kütlece orana

Kütlece orandan hacimce dereceye geçmek kolaydır: w bilindiğinde ρ(w, 20 °C) hesaplanır ve yukarıdaki φ bağıntısına konur. Tersi ise bir denklem çözmeyi gerektirir:

w · ρ(w, 20 °C) = φ · ρ_E(20 °C)

ρ(w, 20 °C), w'nin 11. dereceden bir polinomu olduğu için sol taraf 12. dereceden bir polinomdur. Abel–Ruffini teoremine göre beşinci ve daha yüksek dereceden genel polinom denklemlerinin köklerini katsayılardan dört işlem ve kök alma ile veren bir formül yoktur. Bu yüzden OIML dönüşümü tablolar arasında interpolasyonla yapmıştır; araç ise sayısal bir yöntem kullanır.

Sabit nokta iterasyonu. Denklem w = g(w) = φ · ρ_E(20) / ρ(w, 20) biçiminde yazılır ve w₀ = φ ile başlanarak w_n+1 = g(w_n) tekrarlanır. Yöntemin yakınsaması için |g′(w)| < 1 olmalıdır; burada |g′(w)| = w · |dρ/dw| / ρ tüm aralıkta 0,4'ün altında kalır (%96 v/v civarında ≈0,33). Yani her adım hatayı en az yarı yarıya küçültür ve iterasyon her zaman yakınsar. Durma ölçütü, ardışık iki değerin kütle kesri olarak 10⁻¹²'den az farklı olmasıdır.

Yoğunluktan derece: ikiye bölme. Ölçülen yoğunluktan kütlece oranı bulmak için ρ(w, t) = ρ_ölçülen denklemi çözülür. −20…40 °C aralığındaki her sıcaklıkta yoğunluğun w arttıkça sürekli azaldığı %0,01'lik adımlarla denetlenmiştir; dolayısıyla kök tektir. Araç kökü [0, 1] aralığında ikiye bölme (bisection) yöntemiyle arar: aralığın ortasındaki yoğunluk ölçülenden büyükse kök sağ yarıdadır, küçükse sol yarıda. Yaklaşık 40 yarılamada aralık 10⁻¹²'nin altına iner. Bulunan w, 20 °C bağıntısıyla hacimce dereceye çevrilir.

Seyreltme hesabı

Seyreltmede korunan büyüklük etanolün kütlesidir. Stok kütlesi m_stok, hazırlanacak karışımın kütlesi m_son, kütlece oranlar w_stok ve w_son ise:

m_stok · w_stok = m_son · w_son     m_su = m_son − m_stok     m_son = V_son · ρ_son(t)

Hedef hacimce verildiğinde dereceler önce kütlece orana çevrilir, istenen hacim hazırlama sıcaklığındaki karışım yoğunluğuyla kütleye dönüştürülür. Stok ve su kütleleri bulunduktan sonra hacimleri yine aynı sıcaklıktaki kendi yoğunluklarından hesaplanır. Kütle dengesi her sıcaklıkta geçerlidir. 20 °C'de hazırlanan hacimce seyreltmede stok hacmi basit orantının verdiğiyle aynıdır (V · φ_hedef / φ_stok), çünkü 20 °C'deki etanol hacmi tanım gereği korunur; ama gereken su, büzülme yüzünden basit orantının önerdiğinden fazladır.

Basit orantı neden yetmez? %96'lık alkolden 100 mL %70'lik alkol hazırlamak için 72,92 mL stoka basit orantıyla 27,08 mL su eklenirse karışım yaklaşık 97,5 mL olur ve derecesi %70 yerine yaklaşık %71,8'dir. Eczanede bu yüzden çoğu kez "%10 fazla hazırla" kuralı uygulanır: örneğin 50 mL için hesap 55 mL üzerinden yapılır ve fazlası atılır. Bu yaklaşım hacim açığını kapatır ama dereceyi düzeltmez. Doğru su miktarı (burada 29,74 mL) hem hacmi hem dereceyi hedefe getirir; fazladan hazırlamaya gerek kalmaz.

Hedef kütlece verildiğinde (% w/w, miktar g) hesap yalnız kütle dengesidir; yoğunluk ve sıcaklık yalnız bilgi amaçlı hacimleri hesaplamak için kullanılır.

Sıcaklık

Hacimce derece tanım gereği 20 °C'deki hacimlere göredir; %70 v/v alkol hangi sıcaklıkta hazırlanırsa hazırlansın, 20 °C'ye getirildiğinde %70'tir. Ancak ölçü kabıyla ölçülen hacimler ölçüm anındaki sıcaklıktadır. Araç bu yüzden stok, su ve karışım hacimlerini hazırlama sıcaklığındaki yoğunluklarla hesaplar. Örneğin %96'dan 100 mL %70'lik alkol 25 °C'de hazırlanırken stok 72,96 mL (58,60 g), su 29,63 mL (29,54 g) olur; son kütle 88,14 g'dır. 20 °C'deki değerlerden fark küçüktür; ancak derişik alkol sudan belirgin biçimde fazla genleştiği için fark, sıcaklık 20 °C'den uzaklaştıkça büyür.

Kütleler sıcaklığa bağlı değildir. Bu nedenle en güvenilir yol tartarak hazırlamaktır: araç her adımda hacmin yanında kütleyi de verir. Stok alkol ve su dara alınmış kaba tartılarak eklenirse hem ölçü kabının okuma hatası hem sıcaklık etkisi ortadan kalkar. Cam kabın kendi ısıl genleşmesi hesaba katılmaz.

Karışma ısı verir (Boyne & Williamson, 1967). Reçete ölçeğindeki küçük hacimlerde açığa çıkan ısı çevreye çabuk dağılır ve ölçüme etkisi önemsizdir. Büyük hacimlerde (örneğin litre düzeyinde stok hazırlanırken) ise karışım belirgin biçimde ısınır ve yavaş soğur; sıcak karışımın hacmi olduğundan büyük görünür. Bu durumda son hacim, karışım hazırlama sıcaklığına geri döndükten sonra okunmalıdır. Tartarak hazırlamada bu sorun yoktur.

Aracın kullanımı

Alkol Seyreltme aracının üç sekmesi vardır.

1. Seyreltme tarifi. Stok derecesi, hedef derece, hazırlanacak miktar ve hazırlama sıcaklığı (−20…40 °C) girilir; temel olarak % v/v (miktar mL) ya da % w/w (miktar g) seçilir. Hedef 0'dan büyük ve stoktan küçük, stok en çok 100 olmalıdır. Sonuç adım adım bir tariftir: alınacak stokun hacmi ve kütlesi, eklenecek suyun hacmi ve kütlesi, son kütle, karışınca kaybolan hacim ve basit orantının önereceği su hacmi.
2. Dereceden yoğunluk. Derece (% v/v ya da % w/w) ve sıcaklık girilir; karışımın yoğunluğu kg/m³ ve g/mL olarak, ayrıca derecenin öbür temeldeki karşılığı (% v/v ↔ % w/w) verilir. Bu sekme OIML Tablo I, II, IIIa, IIIb, IVa ve IVb'nin karşılığıdır.
3. Yoğunluktan derece. Ölçülen gerçek yoğunluk ve ölçüm sıcaklığı girilir; kütlece oran (% w/w) ve 20 °C'ye göre hacimce derece (% v/v) verilir. 20 °C'de sonuç Tablo Va/Vb'ye, başka sıcaklıklarda Ek I'deki Tablo VI/VII'ye karşılık gelir. Yoğunluk, o sıcaklıkta saf etanol ile saf su yoğunlukları arasında olmalıdır. Örnek: 20 °C'de 885,00 kg/m³ → %62,63 w/w, %70,23 v/v; aynı yoğunluk 25 °C'de ölçülmüşse → %60,83 w/w, %68,54 v/v.

Yoğunluktan derece sekmesi cam alkolmetre ya da hidrometre okumasını düzeltmez (OIML Tablo VIII–X); girilen değer, örneğin salınımlı U-tüp yoğunluk ölçerle ya da piknometreyle bulunmuş gerçek yoğunluk olmalıdır.

Basılı tablolarla karşılaştırma

Araç, OIML R 22'nin basılı tablolarıyla karşılaştırıldı. Tablolar taranmış sayfalardan okunarak bir test fikstürüne dönüştürüldü; okuma (OCR) hataları hesaplama kodu kullanılmadan, yalnız tabloların kendi satır içi tutarlılığıyla ayıklandı. Fikstür 8 tablodan 6 889 hücre içerir; bunlardan 6 884'ünde kodun iki ondalığa yuvarlanmış sonucu basılı değerle aynıdır. Kalan 5 hücrede fark 0,01'dir ve bu hücrelerin hepsi tam yuvarlama sınırındadır (üçüncü ondalık 5).

Karşılaştırma bir birim testidir (PTCalc.Core.Tests/AlcoholometryTests.cs) ve test takımıyla birlikte çalışır. Fikstür tools/make_oiml_reference.py betiğiyle üretilir; OIML yayınının kendisi depoda bulunmaz.

Sınırlar

• Yalnız su–etanol. Denklem iki bileşenli karışım içindir. Tentür ve ekstrelerde çözünmüş maddeler yoğunluğu artırır ve yoğunluktan bulunan derece gerçek alkol içeriğinden sapar; bu örneklerde alkol önce damıtılarak ayrılmalı ya da kuru kalıntıya göre düzeltme yapılmalıdır (Bernatonienė et al., 2003). Metanol ve fusel yağları gibi eşlik eden maddeler de dereceyi 0,2–0,4 puan kaydırabilir (Kolesnov et al., 2023).
• Hidrometre düzeltmesi yok. Cam alkolmetre ve hidrometre okumaları için gereken cam genleşme düzeltmesi (Tablo VIII–X) uygulanmaz; girdi gerçek yoğunluk olmalıdır.
• Düşük sıcaklıkta donma. Düşük dereceli karışımlar düşük sıcaklıklarda donar; OIML Tablo I bu yüzden her sıcaklıkta izin verilen en düşük dereceden başlar. Denklem o bölgede de bir sayı verir, ama sıvı bir karışıma karşılık gelmez.
• Basınç. Denklem normal atmosfer basıncı içindir.
• Enjeksiyonluk çözeltiler. Araç stoku su ile seyreltir. Etanol içeren enjeksiyonluk çözeltilerde seyreltici su değil %0,9 NaCl olmalıdır; aksi hâlde hipotonik karışım hemolize yol açabilir (Serdons et al., 2008). Serum fizyolojik yoğunluğu sudan biraz farklı olduğundan hesap o durumda yaklaşıktır.
• Uygulama notu. Etanol kilidi tedavisinde kullanılan %70'lik alkolün polipropilen enjektörlerde 14 gün kararlı kaldığı bildirilmiştir (Cober & Johnson, 2007); saklama koşulları ayrıca değerlendirilmelidir.